Nastro di Möbius e Bottiglia di Klein

Una strisciolina di carta, larga qualche centimetro, incollata agli estremi, dopo averne dato un mezzo giro di torsione, è una delle figure più straordinarie e sorprendenti del mondo matematico, dalle mille imprevedibili trasformazioni e applicazioni.. Si chiama nastro di Möbius e la sua popolarità è arrivata ben oltre la matematica, dapprima come semplice gioco e poi coinvolgendo maghi, artisti e scienziati. Per scoprire il grande, affascinante mondo di questa strisciolina di carta è sufficiente, muniti di colla e forbici, avere la pazienza di costruirne una per restare sconcertati di fronte alle sue caratteristiche.
Se proviamo a percorrere con un dito la superficie dell’anello, scopriamo che ritorniamo al punto di partenza senza mai staccare il dito. Prima scoperta: l’anello di Möbius non ha due facce, una inferiore e una superiore, a differenza di un normale anello di carta, cioè di un cilindro, ha una sola superficie.
Accenniamo soltanto a un altro oggetto topologico straordinario, strettamente collegato al nastro di Möbius, la Bottiglia di Klein. Una bottiglia che non ha un “dentro” e un “fuori”, come il nastro di Möbius ha un’unica superficie. Si costruisce unendo i due estremi di un cilindro con una torsione, oppure unendo i margini di due nastri di Möbius fra loro, ma si può realizzare fisicamente soltanto nella quarta dimensione.